Классификация движения по ускорению — Мир ПК

В механике производную по времени обозначают точкой над переменной

Скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения.

Движение точки считают заданным, если известен способ, позволяющий установить ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Системой отсчета называют систему координат, связанную с одним из тел.

Основные задачи кинематики

Базовые понятия кинематики

Классификация движения по ускорениям.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения.

Скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения.

Базовые понятия кинематики.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

ЛЕКЦИЯ 1

Учебные вопросы:

Кинематика — это раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение материальных тел без рассмот­рения условий, вызывающих или изменяющих это движение.

1. Установление закона движения тела по отношению к вы­бранной системе отсчета.

2. Определение по заданному закону движения кинема­тических характеристик этого движения (траектория, ско­рость, ускорение, угловые скорость и ускорение и т. д.)

Движение материальных тел происходит в пространстве и во времени. Пространство рассматривают как трехмерное евклидо­во, время в этом пространстве одинаково во всех его точках и не зависит от движения материальных тел.

Под механическим движением понимают изменение положе­ния одного тела относительно другого.

Материальной точ­кой считают твердое тело, размерами которого в данной задаче пренебрегают.

Траекторией называют геометрическое место последователь­ных положений движущейся точки в выбранной системе отсчета.

Существуют три способа задания движения точки: вектор­ный, координатный, естественный.

Векторный способ задания движения заключается в задании положения точки радиусом-вектором, который является век­торной функцией времени, относительно выбранной точки от­счета.

.

Траектория точки М при век­торном способе — это геометриче­ское место точек концов радиуса-вектора при изменении времени, т. е. годограф радиуса-вектора.

Годограф — это кривая, которую описывает конец радиуса-вектора при изменении его аргумента, когда начало вектора находится в одной и той же точке(рис. 1).

Скорость точки характеризует быстроту и направление движения точки и равна производной радиуса-вектора точки по времени:

.

Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

Ускорение точки характеризует быстроту изменения величины и направления скорости точки и равно первой производной век­тора скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени:

.

Классификация движения точки по ускорениям

1. a_t = 0, a_n = 0; равномерное движение точки по прямой. 2. a_t = 0, a_n = 0; равномерное движение точки по кривой. 3. a_t = 0, a_n = 0; неравномерное движение точки по прямой. 4. a_t = 0, a_n = 0; неравномерное движение точки по кривой.

rB= rA+ rAB,

9.Поступательное движение твердого тела Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, принадлежащая этому телу, остается параллельной самой себе. Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают конгруэнтные (совпадающие при параллельном переносе) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения.

Для любого момента времени для векторного треугольника ОАВ, рис.1,имеем причем r_AB = const. Отсюда следует, что траекторию точки В получим, смещая траекторию точки А на r_AB.

Дифференцируя r_Bпо времени, получим то есть Vb=Va

Дифференцируя по времени (1), получим то есть Ab=Aa

10. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси

>

j = j (t)

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором имеется прямая, принадлежащая телу, все точки которой остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения. I – неподвижная плоскость, II – плоскость, связанная с телом. Положение тела задается углом j. Уравнение вращательного движения рад. 1рад. = 57 0 17’44,8’’.

Пусть за время Dt угол поворота тела составил Dj. Средняя угловая скорость за время Dt равна

Мгновенную угловую скорость получим предельным переходом: или рад/сек. Пусть за время Dt угловая скорость изменилась на Dw. Среднее угловое ускорение равно

Мгновенное угловое ускорение получим предельным переходом: или

рад/сек 2 . Если wи eимеют одинаковые знаки, то w увеличивается, вращение ускоренное, если разные – то уменьшается, вращение замедленное

11.Скорость и ускорение тела при вращательном его движении.

Классификация движения по ускорениям

Способы задания движения и как перейти от одного способа к другому.

Векторный способзадания движения заключается в задании положения точки радиус-вектором, который является какой-либо функцией времени, относительно выбранной точки отсчёта.

Координатный способзаключается в задании координат точки в виде непрерывных и дифференцируемых функций времени. Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат.

Движение точки задано, если известны координаты точки, как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени, т.е.

, , -декартовая система координат. Уравнения движения есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время t.

Естественный способзадания движения считаю заданным, если известны:
траектори движения

· закон движения по траектории S=S(t)

· положительное направление движения

При естественном способе задания движения используют естественные оси:касательная,нормаль, бинормаль.

Положение этих осей определяется векторным произведением: b=τ*n.

+ +

Определение скорости и ускорения при различных способах задания движения.

Векторный способ:

Скорость равна первой производной от радиуса вектора.

Ускорение равно второй производной по радиусу вектора времени или первой производной по времени от вектора скорости и по отношению траектории вектора ускорения, направленная в сторону вогнутости скорости кривой.

Координатный способ:

Естественныйспособ задания движения:

Скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Как могут быть направлены векторы скорости и ускорения по отношению к траектории?

Если величина скорости положительна, то вектор скорости направлен в сторону возрастания круговой координаты S, а если величины скорости отрицательные, то в сторону уменьшения дуговой координаты.

Если r>0 >0Если r>0

4) a 0: an 0 – Неравномерное криволинейное движение.

Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 376 ;

Классификация движения по ускорению

Равномерное прямолинейное движение — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, т. е. это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью:

— уравнение скорости,

— уравнение ускорения.

Пусть в момент времени t=0 координата тела х , в момент t — х (рис. 1).

Рис.1. Равномерное прямолинейное движение

Тогда за промежуток времени Δt =t-t=t координата X тела изменилась на величину

∆х = х — х 0 . Следовательно, проекция скорости тела ,следовательно,

x=x+v_xt — уравнение зависимости координаты от времени

∆ r_x = v_xt — уравнение перемещения.

При равномерном прямолинейном движении направление скорости не изменяется, поэтому путь . Следовательно, — уравнение пути.

Зависимость кинематических величин от времени можно изобразить графически.

Изобразим графики скорости, перемещения, пути и координаты для трех тел: 1, 2, 3(рис. 2).

Рис.2. Движущиеся тела

Тела 1, 2 движутся в положительном направлении оси Ох, причем ; тело 3 движется в направлении, про­тивоположном оси Ох; их начальные координаты соответственно , . Графики скорости представлены на рис.3. Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути s (модулю перемещения), пройденному телом 1 за время t₁. На рис.4 даны графики перемещения , на рис.5 — графики пути s=f(t).

Рис.3. График скорости Рис.4. График перемещения Рис.5. График пройденного пути

Наклон графика , к оси времени зависит от модуля скорости: .

Графики координаты изображены на рис.6.

Рис.6. График координаты

С помощью графика движения можно определить:

1) координаты тела в любой момент времени;

2) путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени;

3) время, за которое пройден какой-то путь;

4) кратчайшее расстояние между телами в любой момент времени;

5) момент и место встречи тел и др.

Равноускоренное прямолинейное движение — это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением.

= с onst — уравнение ускорения.

По определению ускорения .

Пусть в момент времени t скорость тела равна , в момент времени t — . Тогда за промежуток времени ∆t=t-t=t скорость изменилась на .

Следовательно, ускорение

— уравнение скорости.

Или в проекциях: .

Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис.7).

Рис.7. Движение тел

Графики ускорения представлены на рис.8, а графики скорости — на рис.9.

Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис.10). Модуль проекции перемещения за промежуток времени ∆t=t-t=t в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции.

Рис.8. График ускорения Рис.9. График скорости Рис.10. Расчет перемещения

— уравнение перемещения в проекциях;

— уравнение перемещения в векторном виде.

— кинематическое уравнение равноускоренного движения.

Его векторный вид:

Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис.11).

Рис.11. Графики перемещения

Равно­мерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной: v = const .

Тогда и все ускорение точки равно одному только нормальному:

Вектор ускорения направлен при этом все время по нормали к траектории точки.

Так как в данном случае ускорение появляется только за счет изменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормаль­ное ускорение характеризует изменение скорости по направ­лению.

При равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени s = vt , а скорость движения равна отношению пути ко времени v = s / t .

Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: a _τ = const .

v = v + a _τ t — уравнените скорости

— уравнение перемещения

Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает — замедленным.