Тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику — Мир ПК

ИЗД Механика поступательного и вращательного движения. 20.1. Тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику

Вариант 20

20.1. Тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику. Выберите график зависимости скорости от времени, соответствующая такому движению. Ответ обоснуйте. Постройте схематично график зависимости координаты от времени.

20.2. Маленький шарик, привязанный к невесомой нити длиной l = 40 см, вращается в горизонтальной плоскости с постоянной по модулю скоростью так, что нить описывает коническую поверхность с вершиной в точке, где находится верхний конец нити. При этом угол отклонения нити от вертикали α = 30 0 . Определить скорость вращения υ шарика.

20.3.В потенциальном полесила пропорциональна градиенту потенциальной энергии . Если график зависимости потенциальной энергии от координаты х имеет вид, представленный на рисунке, то зависимость проекции силы на ось Х изображена на рисунке под номером …

20.4. Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия на угол 60º и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару со скоростью 300 м/с. Она пробивает его и вылетает горизонтально со скоростью 200 м/с, после чего шар продолжает движение в прежнем направлении. На какой максимальный угол отклонится шар после попадания в него пули? (Массу шара считать неизменной, диаметр шара ­– пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити.) ­

20.5. На графике представлена зависимость угла поворота φ тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, от времени t. Величина углового ускорения в этом случае равна … рад 2 /с. (Ответ округлить до десятых).

20.6. Однородный стержень длиной l = 1,2 м и массой m = 0,3 кг вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов с угловым ускорением e = 9,81 с -1 . Сколько оборотов сделает стержень за время t = 5,0 с, если он начал вращаться из состояния покоя? Как изменится вращающий момент, если ось вращения переместить в центр масс стержня, а действующая сила не изменяется?

20.7. На рисунке представлены графики зависимости мощности постоянного момента силы от времени . Тело вращается равнозамедленно. Какой график соответствует этому случаю?

20.8. Шар массой m = 3 кг скатывается без проскальзывания с вершины наклонной плоскости высотой h = 4 м без начальной скорости. Длина ската наклонной плоскости l = 8 м, а значение коэффициента трения качения (m) тела одинаково на всем протяжении его пути и равно m =0,1. Определите скорость шара у подножия наклонной плоскости (в м/с).

Тангенциальное и нормальное ускорения.

Тангенциальное(касательное) ускорение-это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Направление вектора тангенциального ускорения a лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение—это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела.

Векторперпендикулярен линейной скорости движения, направлен по радиусу кривизны траектории.

Формула скорости при равноускоренном движении

Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Поступательное движение— движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям.
Поступательное движение бывает двух типов: равномерное и неравномерное.

Вращательное движение – это движение тела вокруг некоторой оси. При таком движении все точки тела совершают движение по окружностям, центром которых является эта ось.

Угловая скорость. Угловое ускорение.

Угловая скорость — векторная величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твердого тела

Связь линейной скорости с угловой и тангенциального ускорения с угловым.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис.2.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

Линейная скорость точки по определению.

Тангенциальное ускорение

Воспользовавшись тем же отношением получаем

1.4

Первый закон Ньютона (или закон инерции)

Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной по модулю и направлению.

Инерциальной системой отсчёта является такая система отсчёта, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью).

В при­ро­де су­ще­ству­ют че­ты­ре вида вза­и­мо­дей­ствия

1. Гра­ви­та­ци­он­ное (сила тя­го­те­ния) – это вза­и­мо­дей­ствие между те­ла­ми, ко­то­рые об­ла­да­ют мас­сой.

2. Элек­тро­маг­нит­ное- спра­вед­ли­во для тел, об­ла­да­ю­щих элек­три­че­ским за­ря­дом, от­вет­ствен­но за такие ме­ха­ни­че­ские силы, как сила тре­ния и сила упру­го­сти.

3.Силь­ное- вза­и­мо­дей­ствие ко­рот­ко­дей­ству­ю­щее, то есть дей­ству­ет на рас­сто­я­нии по­ряд­ка раз­ме­ра ядра.

4. Сла­бое. Такое вза­и­мо­дей­ствие от­вет­ствен­но за неко­то­рые виды вза­и­мо­дей­ствия среди эле­мен­тар­ных ча­стиц, за неко­то­рые виды β-рас­па­да и за дру­гие про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие внут­ри атома, атом­но­го ядра.

Масса– является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие.

Сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона.

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение: F=ma

Измеряется в

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела(или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Выражение второго закона Ньютона через изменение импульса тела

Равномерное движение– это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению.

1.5

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-11; Нарушение авторского права страницы

1 Механика фепо

Кинематика поступательного и вращательного движения

Радиус-вектор частицы изменяется во времени по закону

времени t =1c частица оказалась в точке А.

Ускорение частицы в этот момент времени имеет направление…

Точка М движется по окружности с постоянным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна, то величина нормального ускорения…

3) не изменяется

Материальная точка движется с постоянной по величине скоростью вдоль плоской кривой. Ее полное ускорение максимально…

1) в т.1 траектории;

2) в т.2 траектории;

3) в т.3 траектории●

Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рисунке показан график зависимости проекции скорости V τ от времени (τ-единичный вектор положительного направления, V τ – проекция вектора V на это направление). При этом для нормального а n и тангенциального а τ ускорения выполняются условия…

График зависимости величины тангенциального ускорения от времени для равномерного движения тела по окружности изображен на рисунке.

Тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику:

Такому движению соответствует зависимость скорости от времени …

Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой.

При этом величина полного ускорения…

3) не изменяется

Тело движется с постоянной по величине скоростью по дуге окружности, переходящей в прямую, как показано на рисунке.

Величина полного ускорения тела до точки А…

1) постоянна, потом уменьшается до нуля;●

2) увеличивается, потом уменьшается до н уля;

3) увеличивается, потом остается постоянной;

4) уменьшается, потом увеличивается

Тело движется с постоянной по величине скоростью по траектории, изображенной на рисунке. Для величины полного ускорения тела в точке A a A и величины полного ускорения тела в точке B a B справедливо соотношение…

Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту. Определите радиус кривизны его траектории в верхней точке. Сопротивлением воздуха пренебречь, принять g = 10 м/с 2 .

закон вращательного движения тела задан уравнением

с= 2 рад/c 2 . Угловая скорость тела в конце третьей секунды равна…

1)51 рад/с; 2)●12 рад/с;

3)48 рад/с; 4)19 рад/с

Уравнение вращения твердого тела:

(рад). Угловая скорость через 2 с

после начала вращения равна…

1)●51 рад/с; 2)12 рад/с; 3)48 рад/с; 4)19 рад/с

Кинематический закон вращательного движения тела задан уравнением φ=ct 2 , где с =1 рад/с 2 . Угловая скорость тела в конце третьей секунды равна…

Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется во времени, как показано на графике. Угол поворота тела относительно начального положения будет наибольшим в момент времени, равный…

Диск радиуса R начинает вращаться из состояния покоя в горизонтальной плоскости вокруг оси Z, проходящей перпендикулярно его плоскости через его центр. Зависимость угла поворота от времени показана на графике. Величины нормальных ускорений точки на краю диска в момент времени t 1 = 2 c и t 2 = 7 c …

1) отличаются в 2 раза;

3) равны друг другу, но не равны нулю.

В начальный момент времени t = 0 твердому телу придали угловую скорость z =5рад/с вокруг оси Z и в дальнейшем тело испытывает угловое ускорение, проекция которого изменяется со временем, как показано на графике.

Нормальное ускорение некоторой точки этого тела через 5 с после начала вращения …

1) ●увеличится в 2 раза;

3) увеличится в 1,5 раза;

4) увеличится в 4 раза

Диск радиуса R начинает вращаться из состояния покоя в горизонтальной плоскости вокруг оси Z, проходящей перпендикулярно его плоскости через его центр. Зависимость проекции углового ускорения от времени показана на графике.

Нормальное ускорение точки на краю диска достигнет максимальной величины в момент времени, равный …

Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию своей угловой скорости z ( t ) так, как показано на рисунке.

Вектор угловой скорости направлен против оси z, а вектор углового ускорения

направлен по оси z в интервале времени…

3) от t 1 до t 2 ;

2) от t 2 до t 3 ;

4) от t 3 до t 4 ;●

Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию своей угловой скорости ω z (t) так, как показано на рисунке. Вектор угловой скорости ω и вектор углового ускорения ε направлены против оси z в интервале времени…

1) от t 2 до t 3 ;●

2) от t 1 до t 2 ;

4) от t 3 до t 4

радиусом 1 м в соответствии с уравнением

в секундах. Угловое ускорение частицы (в с -2 )

через 3 с после начала движения равно…

Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени w ( t ) приведена на рисунке.

Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения…

движется вдоль окружности

радиусом 1 м в соответствии с уравнением

12) , где – в радианах, t — в секундах. Частица остановится в момент времени

Динамика поступательного движения

Второй закон Ньютона в форме m = F i где i — силы, действующие на тело со

стороны других тел …

1) справедлив для тел, как с постоянной, так и с переменной массой;

2) справедлив только в инерциальной системе отсчета;●

3) справедлив в любой системе отсчета

На рисунке приведен график зависимости скорости тела ν от времени t . Масса тела 10 кг. Сила, действующая на тело, равна…

Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рис.1 показан график зависимости от времени ( — единичный вектор положительного направления, —

проекция на это направление). На рис.2 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t 2 .

Импульс тела p 1 изменился под действием кратковременного удара и стал равным p 2 , как показано на рисунке.

В момент удара сила действовала в направлении…

Импульс тела р 1 изменился под действием кратковременного удара и стал равным р 2 , как показано на рисунке.

В момент удара сила действовала в направлении…

Теннисный мяч летел с импульсом 1 (масштаб и направление указаны на рисунке). Теннисист произвел по мячу резкий удар со средней силой 80 H. Изменившийся импульс мяча стал равным 2 . Сила действовала на мяч в течение…

Теннисный мяч летел с импульсом 1 в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар с средней силой 42 Н. Изменившийся импульс мяча стал равным

2 (масштаб указан на рисунке). Сила действовала на мяч в течение …

На теннисный мяч, который летел с импульсом 1 , на короткое время ∆ t = 0,01 c подействовал порыв ветра с постоянной силой F = 300 H и импульс мяча стал равным 2 (масштаб и направление указаны на рисунке). Величина импульса 1 была равна…

На теннисный мяч, который летел с импульсом p 1 , на короткое время Δt = 0,1 с подействовал порыв ветра с постоянной силой F = 40 Н и импульс мяча стал равным р 2 (масштаб и направление указаны на рисунке).

Кинематика материальной точки

Основные формулы кинематики материальной точки

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz :
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Скорость точки:
;
;
;
Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
.
Вектор можно выбрать двумя способами во взаимно противоположных направлениях. Обычно его выбирают в направлении увеличения дуговой координаты. Тогда, наряду с модулем скорости , вводят алгебраическую величину скорости . При , вектор скорости сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Тангенциальное (касательное) ускорение:
;
;
.
Здесь, как и для скорости, – это алгебраическое касательное ускорение, . Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.

Радиус кривизны траектории:
.

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами ( x, y, z ) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M – это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M .
,
где – единичные векторы в направлении осей x, y, z .

При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
(1)
можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями

В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
,
где – некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

Скорость материальной точки

Согласно определению скорости и определению производной:

Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
,
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:

,
где
,
,

– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
.

Таким образом
.
Модуль скорости:
.

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
.
Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени – в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная – это такая прямая , к которой стремится прямая при .
Введем обозначения:
;
;
.
Тогда вектор направлен вдоль прямой .

При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор – к скорости точки в момент времени :
.
Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
.
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
, то:
.

Здесь мы направили вектор по направлению к вектору скорости, поскольку это более удобно. Но могут возникнуть случаи, когда точка останавливается и движется по той же траектории в обратном направлении. Чтобы не вводить для одной и той же точки траектории два единичных касательных вектора, нужно охватить случай, когда направлен противоположно скорости. Для этого вводят алгебраическую величину скорости:
.
Если направления векторов и совпадают, то . Если они противоположны, то .
– это проекция скорости на направление единичного вектора . Она равна скалярному произведению этих векторов:
.

Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
;
Алгебраическая величина скорости:
.

Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
.

Ускорение материальной точки

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
.
Модуль ускорения:
.

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
.
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
.

Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
.
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
;
;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
.
Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
.
Тогда полное ускорение:
(2) .
Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к ней.

Тангенциальное (касательное) ускорение

Также как и для скорости, введем алгебраическую величину вектора касательного ускорения :
.
Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . Если , то эти векторы противоположны. Абсолютную величину касательного ускорения будем обозначать прямыми скобками: . Тогда
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Здесь мы положили: .
Отсюда видно, что алгебраическая величина тангенциального ускорения равна проекции полного ускорения на направление касательной к траектории. Она также равна производной по времени алгебраической величины скорости точки: .

Подставив , имеем:
.
Здесь мы учли, что .

Найдем производную по времени модуля скорости . Применяем правила дифференцирования:

;
.

Итак,
.
Отсюда следует, что если между векторами ускорения и скорости острый угол: , то движение ускоренное. Абсолютное значение скорости возрастает. Если между ними тупой угол: , то движение замедленное. Абсолютное значение скорости убывает.

Выразим ускорение через тангенциальное и нормальное: , и учтем, что . Получим:
.
Тогда предыдущую формулировку можно выразить посредством тангенциального ускорения. Если векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону, то движение ускоренное. Если их направления противоположны, то движение замедленное.

Радиус кривизны траектории

Теперь исследуем вектор .

Рассмотрим вектор в два момента времени – в момент времени t и в момент t ₁ . Введем обозначения: . По определению производной:
.
Пусть в момент времени t , точка находится в положении M , а в момент t ₁ – в положении M ₁ (см. рисунок).

Рассмотрим случай, когда алгебраическая скорость положительна: . То есть направления векторов и совпадают. Тогда точка M ₁ находится справа от M . Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пересечение этих плоскостей образует прямую. Она проходит через точку C перпендикулярно плоскости рисунка. MC – это перпендикуляр, опущенный из точки M на эту прямую.

При , точка стремится к точке , а длина отрезка CM стремится к радиусу кривизны траектории ρ . Поскольку и , то угол между отрезками и равен углу между векторами и . Отложим их для наглядности из одного центра.

Абсолютное значение производной:
.
Здесь мы учли, что .

Вектор , как указывалось выше, перпендикулярен . В данном случае он направлен вдоль единичного вектора главной нормали , направленной к центру кривизны C траектории. Поэтому при имеем:
.

Теперь рассмотрим случай, когда алгебраическое значение скорости отрицательно: . В этом случае, вектор скорости противоположен . Получается тот же рисунок, только точка располагается слева от M . В результате абсолютное значение производной остается прежней:
.
Но ее направление меняется на противоположное:
.
Поскольку , то формула сохраняет прежний вид и в этом случае:
.

Нормальное ускорение

Теперь находим нормальное ускорение:
.
Перепишем результат в следующем виде:
,
где ; – единичный вектор в направлении главной нормали траектории – то есть вектор, направленный к мгновенному центру кривизны перпендикулярно касательной к траектории. Поскольку , то также является модулем нормального ускорения. Для него не нужно вводить алгебраическое значение, как мы это делали для скорости и касательного ускорения.
Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.

Из формулы (2) имеем:
(4) .
Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
(2) .
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

Выпишем еще раз следующую формулу:
.
Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
.
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
,
в которую подставили
.

Итак, мы получили:
;
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
.
Тогда
.
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-02-2016 Изменено: 27-01-2020